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2007上海十大名校联合考试试卷

2006年上海十大名校联合考试数学试卷

一、填空题:(本大题满分48分)本大题共有12题,要求直接写出结果,每个空格填对得4分,否则一律得0分。

1.  若集合 ,则 =                

 

2.已知 是偶函数,定义域为 ,则 =       

3.函数 的反函数是                           

4.函数 的最小正周期是                        

5.函数 的对称中心是                     

6已知等差数列 的公差 ,且a1,a3,a9成等比数列,则 =     

 

7 在实数集R上定义运算xy=x(1-y.),(x-a)(x+a)<1对任意实数x都成立,则实数a的取值范围是                     

8.已知直线 ,为使这条直线不经过第二象限,则实数 的范围是                        

9.在000001999,1000个连号的自然数中抽奖,若抽到一个号码中,仅出现两个相同偶数则中奖,则一个号码能中奖的概率是                

10ΔABC的两条边上的高的交点为H,外接圆的圆心为O ,则实数m=                 

11.如图,在ΔABCBC=2AB+AC=3,中线AD的长为y,若AB的长为x,则yx函数关系式为                               

 

 

 

 

                 11题图

12.若 ,则                          

二、选择题:(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出代号为ABCD的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分.

13.设AB是锐角三角形的两个内角,则复数 对应点位于复平面的(       )。

A. 第一象限         B.第二象限      C.第三象限        D.第四象限

14.直线 绕原点逆时针方向旋转300后,所得直线与圆 的位置关系是(       )。

A.直线过圆心                B.直线与圆相交,但不过圆心    

C.直线与圆相切              D.直线与圆没有公共点

15.如图,OA是双曲线实半轴,OB是虚半轴,F是焦点,且 ,则双曲线的方程是(      

y

  B

 

  O      A      F     x

 

   15题图

A        B      C      D

16.在ΔABC中, ,则C等于(    

A300           B1500         C3001500             D6001200

 

 

三、解答题:(本大题满分86分)本大题共6题,解答各题必须写出必要的步骤。

17.(本题满分12分)已知xR,zC,x,z满足

(1)       z在复平面内对应的点Z在第一象限,求x的范围;

(2)       是否存在这样x,使 成立。

 

 

 

 

 

18.(本题满分12分,第(16分,第(26分)某小区要建一座八边形的休闲小区,它的主体造型的平面图是由二个相同的矩形ABCDEFGH构成的面积为200 m2的十字型地域,计划在正方形MNPQ上建一座“观景花坛”,造价为4200元/m2,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价为210/m2,再在四个空角(如ΔDQH等)上铺草坪,造价为80/m2

(1)       设总造价为S元,AD长为xm,试建立Sx的函数关系;

(2)       x为何值时,S最小?并求这个最小值。

 

         18题图

 

 

 

 

 

19. (本题满分14分,第(1)小题6分,(2)小题8分)设 上的奇函数,对任意实数x,都有 ,当 时,

(1)       试证: 是函数 的一条对称轴;

(2)       证明函数 是以4为周期的函数,并求 时, 的解析式。

 

 

 

 

 

20. (本题满分14分,第(1)小题6分,(2)小题8分)在平面直角坐标系中,若 ,且

(1)       求动点 的轨迹C的方程;

(2)       过点(03)作直线 与曲线C交于AB两点,设 ,是否存在这样的直线 ,使得四边形OAPB为矩形?若存在,求出直线 的方程,不存在,说明理由。

 

 

 

 

 

21. (本题满分16分,其中第(1)小题8分,第(2)小题8分)已知存在实数 (其中 )使得函数 是奇函数,且在 上是增函数。

(1)       试用观察法猜出两组 的值,并验证其符合题意;

(2)       求出所有符合题意的 的值。

 

22. (本题满分18分,其中第(1)小题6分,第(2)小题6分,第(3)小题6分)如图所示,是树形图形.第一层是一条与水平线垂直的线段,长度为1;第二层在第一层线段的前端作两条与该段均成1350的线段,长度为其一半;第三层按第二层的方法在每一线段的前端生成两条线段;重复前面的作法作图至第n层.设树形图的第n层的最高点到水平线的距离为第n层树形图的高度。

    1)求第三层及第四层树形图的高度H3H4

    2)求第n层树形图的高度Hn

    3)若树形图的高度大于2,则称树形图为“高大”,否则称为“矮小”。显然,当 时是“矮小”的,是否存在 。使得当 时,该树形图是“高大”的?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

参考答案及评分标准

 

一、填空题

1

2 。提示:定义域关于原点对称

3

4л。提示: ,知

5

6 。提示:因为a1,a1+2d,a1+8d成等比数列,所以(a1+2d2=a1a9+9d),所以a1=d,所以

 

7 。提示:由定义有

 

(x-a)(x+a)<1 都成立,由 即得

 

8 。提示:显然直线经过定点 ,又当 时, ,不经过第二象限,当 时, 要使直线不经过第二象限,只需 ,综上

9 。提示:总共有1000个号码,抽到有两个相同偶数的情况可以分两类:一类是3个偶数,其中两个相同,如422242224,共有 ;另一类是两个相同偶数,另一个是奇数,如500050005等,共有 ,故 。(或

101.提示:令A=900,则OBC的中点,HA点,此时所给等式变为

另解:取BC的中点D,则 ,且只有ODBCAHBC,由

11 ;提示:

,两式相加整理得 ,其中

12 。提示:

二、选择题

13B.提示

同理

另解:取A=B=C=600可得B

14C.提示:已知直线的倾斜角为300,旋转后的直线的倾斜角为600,其直线方程为 ,圆心到直线的距离为 等于圆的半径。

15B.提示:由题意,

 

于是 ,所以 从而 ,所以双曲线的方程为

16A.提示:两式平方相加得 ,所以A+B=3001500,若A+B=300,则 矛盾。所以C=300

三、解答题

17.解:(1

  ,即 时, 矛盾,所以

所以   ------------------3

由题意 ------------------6

2)假设存在这样的x,使

------------------------9

,方程组无解,所以这样的x不存在。 ---------------12

18.解:(1)设DQ=y, AD=x,

----------------------------------------------------------------------3

-----------------------------------------------------6

2 --------------------------------------10

当且仅当 ,即 时, 元。----------12

19.(1)因为 为奇函数,所以 ,所以 --3

所以

所以 是函数 的一条对称轴;-------------------------------------------------6

2

所以 是以4为周期的函数。------------------------------------------------10

时,

所以 时, 的解析式为 ----------14

另解: 上的图象如下:

     y

 


      - 1

                                x

- -1

所以 时, 的解析式为

20.(1)因为 ,且

所以动点M到两个定点F10-2),F202)的距离的和为8

所以轨迹CF10-2),F202)为焦点的椭圆,方程为

-------------------------------------------------------------------------------------6

2)为直线 过点(03)。

若直线 y轴,则AB是椭圆的顶点。 ,所以OP重合,与四边形OAPB是矩形矛盾。--------------------------------------------------------------------------9

所以直线 的斜率存在,设直线 的方程为

由于 恒成立。

由韦达定理 ---------------------------------11

因为 ,所以OAPB是平行四边形。

若存在直线 ,使得四边形OAPB为矩形,则OAOB,即

因为

所以 -----------------------------------------------12

所以

所以

故存在直线 ,使得四边形OAPB为矩形。---------------14

21.解:(1)猜想: --------------------------------4

,而 为奇函数且在 上是增函数。-------------------------------------------------------------------------6

,而 为奇函数且在 上是增函数。-------------------------------------------------------------------------------------------8

2)由 为奇函数,有

所以 ,又

解得 -----------------------------------------------------------------------------10

时, 为奇函数,由于 上是增函数,所以 ,由 ,又 上是增函数,故有 ,且 ,故 ----------------------------------------------------------------------------12

时, 为奇函数,由于 上是增函数,所以 ,由 ,又 上是增函数,故有 ,且 2,故    ------------------------------------------------------------14

所以所有符合题意的 的值为:

--------------------------------------16

22(1)设题中树(从下而上)新生的各层高度所构成的数列为 ,则 -------------------------------------------4

所以,第三层树形图的高度 ---------------------------5

第三层树形图的高度 -------------------------6

2)易知 ,所以第n层树形图的高度为

----------------------------------------------------------9

所以,当为奇数时,第n层树形图的高度为

---10

当为偶数数时,第n层树形图的高度为

------------12

(3)       不存在。

由(2)知,当为奇数时, -----------------------------------------------------------------------------------------------------15

当为偶数数时, --------------17

由定义,此树形图是永远是“矮小“的。所以不存在 。使得当 时,该树形图是“高大”的。------------------------------------------------------------------18

 

 

2008/3/5 9:01:21
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